miércoles

HISTORIA DE LOS NÚMEROS NATURALES




Antes de que surgieran los números  para la representación de cantidades, el ser humano usó otros metodos para contar, utilizando para ello objetos como piedras, palitos de madera, nudos de cuerdas, o simplemente los dedos. Más adelante comenzaron a aparecer los simbolos gráficos como señales para contar, por ejemplo marcas en una vara o simplemente trazos específicos sobre la arena. Pero fue en Mesopotamia alrededor del año 4000 a.C. donde aparecen los primeros vestigios de los números  que consistieron en grabados de señales en forma de cuñas sobre pequeños tableros de arcilla empleado para ello un palito aguzado.
De aquí el nombre de escritura cuneiforme. Este sistema de numeración fue adoptado más tarde, aunque con simbolos gráficos diferentes, en la Grecia Antigua y en la Antigua Roma. En la Grecia antigua se empleaban simplemente las letras de su alfabeto, mientras que en la antigua Roma además de las letras, se utilizaron algunos símbolos.

Quien colocó al conjunto de los números naturales sobre lo que comenzaba a ser una base sólida, fue Richard Dedekind en el siglo XIX. Que después  precisó Peano dentro de una lógica de segundo orden, resultando así los famosos cinco postulados que llevan su nombre.  Frege fue superior a ambos, demostrando la existencia del sistema de números naturales partiendo de principios más fuertes. Lamentablemente la teoría de Frege perdió, por así decirlo, su credibilidad y hubo que buscar un nuevo método. 
Fue Zermelo quien demostró la existencia del conjunto de números naturales, dentro de su teoría de conjuntos y principalmente mediante el uso del axioma de infinitud que,con una modificación de este hecha por Adolf Fraenkel, permite construir el conjunto de números naturales ordinales según von Neumann.





martes

Números Naturales


El conjunto de los números naturales está formado por:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}
Con los números naturales contamos los elementos de un conjunto (número cardinal). O bien expresamos la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (ordinal). 
Representación de los números naturales 


Los números naturales se pueden representar en una recta ordenados de menor a mayor.

Sobre una recta señalamos un punto, que marcamos con el número cero. A la derecha del cero, y con las mismas separaciones, situamos de menor a mayor los siguientes números naturales: 1, 2, 3...



Adición de números naturales

Al sumar dos números naturales a y b se obtiene otro número natural c, es decir,
a + b = c
donde a y b son los sumandos y c es la suma.

10122 + 5763 = 15885
     sumandos    suma

Propiedades de la adición de números naturales

El resultado de sumar dos números naturales es otro número natural.
a + b  pertenece a los números naturales
2. Asociativa:
El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.
(a + b) + c = a + (b + c)
(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)
5 + 5 = 2 + 8
10 = 10
3. Conmutativa:
El orden de los sumandos no varía la suma.
a + b = b + a
2 + 5 = 5 + 2
7 = 7
4. Elemento neutro:
El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número.
a + 0 = a
3 + 0 = 3

Sustracción de números naturales

La resta de dos números naturales a y b se expresa mediante a - b donde a se llama el minuendo y b se llama el sustraendo. Fijate en la siguiente sustracción:

23588 - 23329 = 259

La resta en los números naturales será posible siempre y cuando el minuendo sea mayor que el sustraendo.









Propiedades de la sustracción de números naturales

     1. No es una operación interna:

El resultado de restar dos números naturales no siempre es otro número natural.

2 − 5 no pertenece a los números  naturales


     2. No es Conmutativa:

5 − 2 ≠ 2 − 5

Multiplicación de números naturales

Multiplicar dos  números  naturales consiste en sumar uno de los factores consigo mismo tantas veces como indica el otro factor.
b=c 

Los términos a y b se llaman factores y el resultado c producto.

Propiedades de la multiplicación de números naturales

La multiplicación de números naturales cumplen las siguientes propiedades:
  1. Propiedad Conmutativa: el orden de los factores, no altera el producto.
 4 × 8  =  8 × 4
  32   =    32

      2.  Propiedad Asociativa: al asociar dos o más factores de distintas forma, se obtiene el mismo producto.

( 7 × 2) × 4  =  7 × ( 2 × 4)
  14  ×  4   =   7  ×   8
  56 = 56

       3.  Elemento Neutro: Cualquier número multiplicado por 1, da como resultado el mismo número.
827  × 1  =  1  × 827
827  =  827

       4.  Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición: para multiplicar un número por una suma de varios términos, multiplicamos el número por cada uno de los sumandos.

 3 ×( 4 × 2) = ( 3 × 4 ) + ( 3 × 2)
              =      12     +     6
         =             18

       5.  Factor Cero: todo número multiplicado por cero, da como resultado cero.
225  × 0 = 0 × 225
0     =    0